べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

行列の軽い計算

対角化の計算をするときに,固有ベクトルをとって行列を作るわけだが,
次のことが気になっていた。

命題.
P,Qは零行列ではないn次正方行列とする。
PQ=OならばQP=Oである。

(証明)
背理法QP \neq Oと仮定する。
Qを右乗すると,左辺はQPQ=QO=OからO \neq Oとなり矛盾する。(証明終)

この零行列の部分を単位行列に変えた命題も全く同じように示される。

(20.5.20)
完全なる嘘の証明である.反例が存在する.
\begin{equation*}P=\begin{pmatrix}1 &0 \\0 &0  \end{pmatrix},Q=\begin{pmatrix}0 &0 \\1 &0  \end{pmatrix}  \end{equation*}とおくと,PQ=OだがQP \neq Oである.