級数の問題を解く(数列の問題との絡み)

この問はどうするか。
1)\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1+2+3+ \cdots +n}{n^2}
級数ではないが,和の問題なので考えてみる。
解)
\frac{1+2+ \cdots +n}{n^2}=\frac{n(n+1)}{2n^2}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n}) \to \frac{1}{2} as n \to \infty

このように一部が和の公式が使えるときは使うとよい。

2)\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5}+ \cdots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+ \cdots
有名な部分分数分解を使うときである。\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1})
解)
nまでの和は部分分数分解を使うと次のとおりである。
\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5}+ \cdots +\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
=\frac{1}{2}(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5} + \cdots +\frac{1}{2n-1} -\frac{1}{2n+1}
=\frac{1}{2}(\frac{1}{1} -\frac{1}{2n+1})(先頭と最後以外は前後で打ち消しあう)
\to \frac{1}{2} as  n \to \infty