級数の問題を解く(等比級数)

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり
a+ar+ar^2+ar^3+\cdots
の形をしているものである。a=0r=1はつまらないので除外することにする。

級数の定義によって収束発散を議論しよう。
S_n=a+ar+ar^2+ \cdots +ar^{n-1}
とおき,ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式でS_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}となる。
n \to \inftyの極限をとるが,nは分子のr^nにのみ存在するのでここだけが問題である。
1)r>1の場合
s>0を用いてr=1+sと表せる。ここでr^n=(1+s)^n=1+ns+\cdots+s^nからr^n>1+nsを得る。
nを限りなく大きくすると1+nsは正の無限大に発散するので,r^nも正の無限大に発散する。
つまりS_nも発散するので,級数の定義から値は存在しない。
同様の議論でr \leq -1の場合も級数の値は存在しない。
2)|r|<1の場合
アルキメデスの原理よりr^n \to 0 as n \to \infty
つまりS_n \to \frac{a}{1-r} as  n \to \inftyである。

以上の議論で|r|<1の場合,a+ar+ar^2+\cdots = \frac{a}{1-r}が分かった。