べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

級数の問題を解く（等比級数）

数学

今回は等比級数の一般論を扱う。つまり
$a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$
の形をしているものである。 $a=0$ や $r=1$ はつまらないので除外することにする。

級数の定義によって収束発散を議論しよう。
$S_n=a+ar+ar^2+ \cdots +ar^{n-1}$
とおき，ひとまずこの和を計算する。等比数列の和の公式で $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$ となる。
$n \to \infty$ の極限をとるが， $n$ は分子の $r^n$ にのみ存在するのでここだけが問題である。
１） $r>1$ の場合
$s>0$ を用いて $r=1+s$ と表せる。ここで $r^n=(1+s)^n=1+ns+\cdots+s^n$ から $r^n>1+ns$ を得る。
$n$ を限りなく大きくすると $1+ns$ は正の無限大に発散するので， $r^n$ も正の無限大に発散する。
つまり $S_n$ も発散するので，級数の定義から値は存在しない。
同様の議論で $r \leq -1$ の場合も級数の値は存在しない。
２） $|r|<1$ の場合
アルキメデスの原理より $r^n \to 0$ as $n \to \infty$ ．
つまり $S_n \to \frac{a}{1-r}$ as $n \to \infty$ である。

以上の議論で $|r|<1$ の場合， $a+ar+ar^2+\cdots = \frac{a}{1-r}$ が分かった。