級数の問題を解く(導入)

いくつかの級数の問題は取り扱ってきたものの,初歩の問題はなぜかやらずにきた。面倒だったのかもしれない。
今回はそのような問題たちを扱う。

ところで級数とは何か,という話を初めにしなければならないだろう。
級数(無限級数)とは,無限項の数列の和のことである。
すなわち,数列\{ a_n \}_{n=1}^\inftyに対して\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_nのことである。

ここではたと困ることがある。
人間は無限項の足し算などできるはずがないということである。当たり前のことだが大問題といえるだろう。
どうやって無限の足し算をすればいいのだろうか。

解決する手段はこうである。
まずn=1, 2, \ldots ,mととりあえず第m項までの和をつくる。\displaystyle S_m=\sum_{n=1}^m a_n
次にこのS_mmを限りなく大きくする。つまりm \to \inftyとするのである。
このとき\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m = \lim_{m \to \infty}\sum_{n=1}^m a_nが存在する場合に限り,その極限を無限項の和と解釈するのである。
無限に足さずに極限の解釈をすることで,議論をすりかえている。うまい方法だ。

逆にいえばこの手順で無限項の和を求めればよい,ということになる。
色々なパターンの問題を取り扱っていく。