複素積分の値が媒介変数による例

前回の記事のつづき。
端点だけでは積分の値を１つに定められない例を挙げる。
つまり関数として正則でないものを挙げればよい。

例．関数 $f(z)=\bar{z}$ について考える。
端点を $-1$ と $1$ とし、複素積分を考える。
1) 積分路 $C_1$ を実軸に沿って考えた場合
パラメータは $z(t)=t$ （ $-1 \leq t \leq 1$ ）ととる。
$\int_{C_1}\bar{z}dz = \int_{-1}^1 t \cdot (t)' dt =\int_{-1}^1 t dt = 0$ ．（奇関数の性質）
2) 積分路 $C_2$ を半円として考えた場合
パラメータは $z(t)=e^{it}$ （ $\pi \leq t \leq 0$ ）ととる。
$\int_{C_2}\bar{z}dz = \int_{\pi}^0 \overline{e^{it}} (e^{it})' dt =\int_\pi^0 e^{-it} i e^{it} dt = \int_\pi^0 i dt=-\pi i$ ．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

複素積分の値が媒介変数による例