複素積分の値が媒介変数による例

前回の記事のつづき。
端点だけでは積分の値を1つに定められない例を挙げる。
つまり関数として正則でないものを挙げればよい。

例.関数f(z)=\bar{z}について考える。
端点を-11とし、複素積分を考える。
1) 積分C_1を実軸に沿って考えた場合
パラメータはz(t)=t-1 \leq t \leq 1)ととる。
\int_{C_1}\bar{z}dz = \int_{-1}^1 t \cdot (t)' dt =\int_{-1}^1 t dt = 0.(奇関数の性質)
2) 積分C_2を半円として考えた場合
パラメータはz(t)=e^{it}\pi \leq t \leq 0)ととる。
\int_{C_2}\bar{z}dz = \int_{\pi}^0 \overline{e^{it}} (e^{it})' dt =\int_\pi^0 e^{-it} i e^{it} dt = \int_\pi^0 i dt=-\pi i