条件付き確率の有名な問題とその計算

ネット上でも有名なアレである。

問．（隣の家の子どもの性別）
1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが２人おり、１人は男であるという。２人とも男である確率を求めよ。
2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが２人おり、そのうちの１人の男の子どもが外で遊んでいるのを見た。もう１人が男である確率を求めよ。

解．
1) きょうだいのうち、年上が男であるという事象を $A$ 、年下が男であるという事象を $B$ とする。
このとき $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ であり、 $P(A \cap B)=P(A) \times P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$ である。
いずれかが男である確率は $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{3}{4}$ である。
いずれかが男であったとき、いずれも男である条件付き確率は $P_{A \cup B}(A \cap B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$ 。