条件付き確率の有名な問題とその計算

ネット上でも有名なアレである。

問.(隣の家の子どもの性別)
1) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、1人は男であるという。2人とも男である確率を求めよ。
2) 隣の家に家族が越してきた。子どもが2人おり、そのうちの1人の男の子どもが外で遊んでいるのを見た。もう1人が男である確率を求めよ。

解.
1) きょうだいのうち、年上が男であるという事象をA、年下が男であるという事象をBとする。
このときP(A)=P(B)=\frac{1}{2}であり、P(A \cap B)=P(A) \times P(B)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}である。
いずれかが男である確率はP(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\frac{3}{4}である。
いずれかが男であったとき、いずれも男である条件付き確率はP_{A \cup B}(A \cap B)=\frac{P(A \cap B)}{P(A \cup B)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}

2) 見たのが兄であっても、弟であっても、もう1人のきょうだいの性別には影響しない。
よってもう1人が男である確率は\frac{1}{2}である。