sin^n θの典型問題再び - べっこう色の記録

問．
$I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x dx$
とするとき， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を示せ．

もう一度考え直す．2乗を出すより1乗を出したほうが自然のような気がする．

（解）
$I_{n}$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1} x \cdot \sin x dx$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1}x \cdot (-\cos x)'dx$
$=[ \sin^{n-1}x \cdot (-\cos x) ]_{x=0}^{\pi/2} -\int_{0}^{\pi/2}(\sin^{n-1}x)'\cdot (-\cos x)dx$
$=\int_{0}^{\pi/2}(n-1)\sin^{n-2} x \cos^{2} x dx$
$=\int_{0}^{\pi/2}(n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx$
$=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$ ．
$I_{n}$ について解くと，示すべき式が得られる．（終）