sin^n θの典型問題再び

問.
I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x dx
とするとき,I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}を示せ.

もう一度考え直す.2乗を出すより1乗を出したほうが自然のような気がする.

(解)
I_{n}
=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1} x \cdot \sin x dx
=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1}x \cdot (-\cos x)'dx
=[  \sin^{n-1}x \cdot (-\cos x) ]_{x=0}^{\pi/2} -\int_{0}^{\pi/2}(\sin^{n-1}x)'\cdot (-\cos x)dx
=\int_{0}^{\pi/2}(n-1)\sin^{n-2} x \cos^{2} x dx
=\int_{0}^{\pi/2}(n-1)\sin^{n-2}x(1-\sin^{2}x)dx
=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}
I_{n}について解くと,示すべき式が得られる.(終)

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