sin^n θの典型問題 - べっこう色の記録

定積分に関する典型問題をひとつ．

問．
$I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^n x dx$
とするとき， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を示せ．

解．
部分積分法を実行する．
$I_{n}$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \sin^2 x dx$
$=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x (1-\cos^2x) dx$
$=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2}dx -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n-2} x \cos^2x dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-2} x \cos^2x dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} (\frac{1}{n-1}\sin^{n-1} x)' \cos x dx$
$=I_{n-2}-[ \frac{1}{n-1}\sin^{n-1} x \cos x ]_{x=0}^{\pi/2}+\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{n-1} \sin^{n-1} x (-\sin x) dx$
$=I_{n-2} -\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{n-1} \sin^{n} x dx$
$=I_{n-2} - \frac{1}{n-1}I_{n}$ ．
$I_{n}$ について解くと， $I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$ を得る．