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岩手大学2015農学部第5問を解く

数学 過去問 岩手大学


(1) \sin 3 \theta\sin \thetaで表せ.
(2) \cos 3 \theta\cos \thetaで表せ.
(3) 関数y=-8 \sin^3 \theta + 6\sin \theta -3 \cos \theta +4 \cos^3 \theta +1\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \piにおける最大値と最小値を求めよ.

(1),(2)は典型的な三倍角の公式で,三角関数の加法定理を用いるのみ.


(1)
\sin 3 \theta
=\sin(2\theta + \theta)
=\sin2\theta \cos \theta + \cos2\theta \sin \theta
=2\sin \theta \cos^2 \theta +(1-2sin^2 \theta)\sin \theta
=2\sin \theta (1-\sin^2 \theta) +(1-2sin^2 \theta)\sin \theta
=3\sin \theta -4 \sin^3 \theta

(2)
\cos 3 \theta
=\cos(2\theta + \theta)
=\cos 2 \theta \cos \theta - \sin 2 \theta \sin \theta
=(2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2\sin^2 \theta \cos \theta
=(2\cos^2 \theta -1)\cos \theta -2(1-\cos^2 \theta) \cos \theta
=4\cos^3 \theta -3\cos \theta

(3)
(1)および(2)を用いて関数を変形すると y = 2 \sin 3 \theta + \cos 3 \theta + 1
三角関数の合成をおこなうと y = \sqrt{2} \sin (3 \theta + \alpha) + 1
ただし,\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}であり,\frac{3}{2} \pi \leq 3 \theta + \alpha \leq 3 \pi +\alphaである.
単位円を描き(省略)最大・最小値を求めると
\theta = \frac{\pi}{2}のとき最大値\sqrt{5}+1\theta = \frac{3}{2} \piのとき最小値3である.