岩手大学2015農学部第1問を解く

小問集合である．
１．
(1) 2次方程式 $3x^{2}+7x+5=0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき， $\frac{\alpha^{2}}{\beta}+\frac{\beta^{2}}{\alpha}$ の値を求めよ．
(2) 方程式 $\log_{9}(x+4)=\log_{3}(2x-7) + \log_{5}\, \frac{1}{5\sqrt{5}}$ を解け．
(3) △ABCにおいて，∠A，∠Bの大きさをそれぞれ $A,B$ で表すとき， $\cos A = \frac{3}{5}$ ， $\cos B = \frac{2}{3}$ であるとし，さらに辺ABの長さは $\frac{38}{5}$ であるとする．このとき，△ABCの外接円の半径を求めよ．

解）
(1)
解と係数の関係より $\alpha + \beta = -\frac{7}{3}$ かつ $\alpha \beta = \frac{5}{3}$ である．
$\frac{\alpha^{2}}{\beta}+\frac{\beta^{2}}{\alpha}$
$=\frac{\alpha^{3}+ \beta^{3}}{\alpha \beta}$
$=\frac{(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha + \beta)}{\alpha \beta}$
$=\frac{(-\frac{7}{3})^{3}-3\cdot \frac{5}{3} \cdot (-\frac{7}{3})}{\frac{5}{3}}$
$=-\frac{28}{5}$ ．

(2)
真数は正であるから， $x+4>0$ かつ $2x-7>0$ ，すなわち $x > \frac{7}{2}$ の範囲で解を求める．
　　 $\log_{9}(x+4)=\log_{3}(2x-7) + \log_{5}\, \frac{1}{5\sqrt{5}}$
$\log_{5}\, \frac{1}{5\sqrt{5}} = -\frac{3}{2}$ であり，底変換公式より $\log_{9}(x+4)=\frac{1}{2}\log_{3}(x+4)$ であるから
　　 $\frac{1}{2}\log_{3}(x+4)=\log_{3}(2x-7)-\frac{3}{2}$ ．
ここで両辺を2倍して，3の冪とする．
　　 $x+4=(2x-7)^{2} \times 3^{-3}$
整理して
　　 $4x^{2}-55x-59=0$
　　 $(4x-59)(x+1)=0$
真数条件から $x=\frac{59}{4}$ を得る．

(3)
$\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta =1$ より $\sin A=\frac{4}{5}$ ， $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}$ となる．
$A+B+C=180^{\circ}$ より三角関数の加法定理を用いる
$\sin C=\sin(180^{\circ}-(A+B))$
$=\sin (A+B)=\sin A \cos B + \cos A \sin B$
$=\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}$
$=\frac{8+3\sqrt{5}}{15}$ ．
外接円の半径を $R$ とするとき，正弦定理 $2R=\frac{c}{\sin C}$ から
$2R=\frac{\frac{38}{5}}{\frac{8+3\sqrt{5}}{15}}=6(8-3\sqrt{5})$
よって， $R=24-9\sqrt{5}$ となる．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

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