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岩手大学2015農学部第1問を解く

小問集合である.
1.
(1) 2次方程式 3x^{2}+7x+5=0 の2つの解を \alpha, \beta とするとき,\frac{\alpha^{2}}{\beta}+\frac{\beta^{2}}{\alpha} の値を求めよ.
(2) 方程式 \log_{9}(x+4)=\log_{3}(2x-7) + \log_{5}\,  \frac{1}{5\sqrt{5}}を解け.
(3) △ABCにおいて,∠A,∠Bの大きさをそれぞれA,Bで表すとき,\cos A = \frac{3}{5}\cos B = \frac{2}{3}であるとし,さらに辺ABの長さは\frac{38}{5}であるとする.このとき,△ABCの外接円の半径を求めよ.

解)
(1)
解と係数の関係より\alpha + \beta = -\frac{7}{3}かつ\alpha \beta = \frac{5}{3}である.
\frac{\alpha^{2}}{\beta}+\frac{\beta^{2}}{\alpha}
=\frac{\alpha^{3}+ \beta^{3}}{\alpha \beta}
=\frac{(\alpha+\beta)^{3}-3 \alpha \beta(\alpha + \beta)}{\alpha \beta}
=\frac{(-\frac{7}{3})^{3}-3\cdot \frac{5}{3} \cdot (-\frac{7}{3})}{\frac{5}{3}}
=-\frac{28}{5}

(2)
真数は正であるから,x+4>0かつ2x-7>0,すなわちx > \frac{7}{2}の範囲で解を求める.
  \log_{9}(x+4)=\log_{3}(2x-7) + \log_{5}\,  \frac{1}{5\sqrt{5}}
\log_{5}\,  \frac{1}{5\sqrt{5}} = -\frac{3}{2}であり,底変換公式より\log_{9}(x+4)=\frac{1}{2}\log_{3}(x+4)であるから
  \frac{1}{2}\log_{3}(x+4)=\log_{3}(2x-7)-\frac{3}{2}
ここで両辺を2倍して,3の冪とする.
  x+4=(2x-7)^{2} \times 3^{-3}
整理して
  4x^{2}-55x-59=0
  (4x-59)(x+1)=0
真数条件からx=\frac{59}{4}を得る.

(3)
\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta =1より\sin A=\frac{4}{5}\sin B=\frac{\sqrt{5}}{3}となる.
A+B+C=180^{\circ}より三角関数の加法定理を用いる
\sin C=\sin(180^{\circ}-(A+B))
=\sin (A+B)=\sin A \cos B + \cos A \sin B
=\frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3}
=\frac{8+3\sqrt{5}}{15}
外接円の半径をRとするとき,正弦定理2R=\frac{c}{\sin C}から
2R=\frac{\frac{38}{5}}{\frac{8+3\sqrt{5}}{15}}=6(8-3\sqrt{5})
よって,R=24-9\sqrt{5}となる.