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整数問題

数学


\frac{2}{m}+\frac{3}{n}=1を満たす整数の組(m,n)を求めよ.□

解1)
mについて解くとm=2+\frac{6}{n-3}である.
左辺が整数であるから,右辺の分数も整数である.
つまりn-3=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6より,n=-3,0,1,2,4,5,6,9を得る.
n \not{=}0よりn=-3,1,2,4,5,6,9である.
よって,(m,n)=(1,-3),(-1,1),(-4,2),(8,4),(5,5),(4,6),(3,9)が求める整数の組である.□

解2)
両辺にmnをかけるとmn-3m-2n=0となる.
ここで(m-2)(n-3)=6であるから,(m-2,n-3)=(\pm 1, \pm 6),(\pm 2, \pm 3),(\pm 3 ,\pm 2),(\pm 6, \pm 1)である.
計算することで,(m,n)=(1,-3),(-1,1),(-4,2),(8,4),(5,5),(4,6),(3,9)が得られる.□

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