整数問題 - べっこう色の記録

問．
$\frac{2}{m}+\frac{3}{n}=1$ を満たす整数の組 $(m,n)$ を求めよ．□

解1）
$m$ について解くと $m=2+\frac{6}{n-3}$ である．
左辺が整数であるから，右辺の分数も整数である．
つまり $n-3=\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ より， $n=-3,0,1,2,4,5,6,9$ を得る．
$n \neq 0$ より $n=-3,1,2,4,5,6,9$ である．
よって， $(m,n)=(1,-3),(-1,1),(-4,2),(8,4),(5,5),(4,6),(3,9)$ が求める整数の組である．□

解2)
両辺に $mn$ をかけると $mn-3m-2n=0$ となる．
ここで $(m-2)(n-3)=6$ であるから， $(m-2,n-3)=(\pm 1, \pm 6),(\pm 2, \pm 3),(\pm 3 ,\pm 2),(\pm 6, \pm 1)$ である．
計算することで， $(m,n)=(1,-3),(-1,1),(-4,2),(8,4),(5,5),(4,6),(3,9)$ が得られる．□