べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

頻出不等式

数学

不等式が好きなので，よく目にとまる．
次の不等式は頻出の問題である．

問．
$|a| < 1$ ， $|b|<1$ ， $|c| < 1$ とする．次の不等式を示せ．
(1) $a+b < ab+1$
(2) $a+b+c < abc+2$

解）
(1)
$(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0$ ．

(2)
　　 $a+b+c$
$<(a+b)c+1$ 　（(1)より）
$<(ab+1)c+1$ 　　（(1)より）
$=abc+c+1$
$< abc+1+1$ 　　（ $|c| < 1$ より）
$= abc+2$ ．