有名な不等式 - べっこう色の記録

問．
不等式 $a^{4}+b^{4}+c^{4} \geq abc(a+b+c)$ を示せ．□

ときおり見かける不等式である．
次の不等式が分かっていればたやすい．

補題．
$a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+ca$ が成立する．

（証明）
$a^{2}+b^{2}+c^{2}- ab-bc-ca=\frac{1}{2}((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}) \geq 0$ ．（証明終）

補題を使って解いてみよう．

（解）
　 $a^{4}+b^{4}+c^{4}$
$\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}$ （補題を用いた）
$\geq abbc+bcca+caab$ 　　　　　　　　　　　　　　　（補題を用いた）
$\geq abc(a+b+c)$ ．（終）

文字を回して，解決するのは不等式証明の常套手段である．