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有名な不等式


不等式a^{4}+b^{4}+c^{4} \geq abc(a+b+c)を示せ.□

ときおり見かける不等式である.
次の不等式が分かっていればたやすい.

補題
a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq ab+bc+caが成立する.

(証明)
a^{2}+b^{2}+c^{2}- ab-bc-ca=\frac{1}{2}((a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}) \geq 0.(証明終)

補題を使って解いてみよう.

(解)
 a^{4}+b^{4}+c^{4}
\geq a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ca)^{2}補題を用いた)
\geq abbc+bcca+caab               (補題を用いた)
\geq abc(a+b+c).(終)

文字を回して,解決するのは不等式証明の常套手段である.

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