定理.
とする. をの最大公約数,をの最小公倍数とする.
このとき,が成り立つ.□
(証明)
はの最大公約数であるから,互いに素であるを用いて
および
と表せる.またはの最小公倍数なので
かつ
と表せる.つまりで,両辺を で約分するとが成り立つ.
とは互いに素であるから,はで割り切れる.
よってと表せる.同様にしてと表せる.
ゆえにである.は最小であるから,となる.
したがって,となる.
両辺を 倍するとを得る.(証明終)
定理.
とする. をの最大公約数,をの最小公倍数とする.
このとき,が成り立つ.□
(証明)
はの最大公約数であるから,互いに素であるを用いて
および
と表せる.またはの最小公倍数なので
かつ
と表せる.つまりで,両辺を で約分するとが成り立つ.
とは互いに素であるから,はで割り切れる.
よってと表せる.同様にしてと表せる.
ゆえにである.は最小であるから,となる.
したがって,となる.
両辺を 倍するとを得る.(証明終)