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二次方程式の判別式

二次方程式の判別式Dは実数か否かの判定のときにも登場する.
理由は以下のとおり.

(1) 二次方程式ax^{2}+bx+c=0について,D=b^{2}-4ac判別式という.
特にD \geq 0の場合,二次方程式は実数解を持つ.

基礎問題では具体的な二次方程式の解の判別に使われ,
基本問題では文字kが含まれている二次方程式で実数解を持つ条件を求める問題が出題される.
ここまでは教科書(数学I)でも当たり前のように出てくる.

(2) 標準以上の問題では捻りが入る.

(イ)二次方程式ax^{2}+bx+c=0は実数解を持つとする.
もしあるtat^{2}+bt+c=0を満たすならばtは実数である.

つまり「実数を持つ」ので,なら自動的に実数になるわけだ.

(ロ)ある実数tat^{2}+bt+c=0を満たすものが存在するならば,b^{2}-4ac \geq 0が成り立つ.

仮定はまさに二次方程式が実数解を持つということであるから,(1)の判別式の議論から当然成立する.
しかしいわれなければなかなか気がつかない.

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