バームクーヘン積分

関数をy軸の周りで回転させたときの体積はこれで決まりである.

紹介する前にノーマルな積分の方法も紹介する.
連続で単調増加関数f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}を考える.
数学IIIの教科書にもあるとおり,y=c=f(a)からy=d=f(b)および関数fで囲まれた部分の
y軸の回りの回転体の体積Vは次のようである.
 V=\int_{c}^{d} \pi x^{2} dy
これは関数をxについて解いた場合の表示であるが,xについて解きにくいときには
 x^2 dy = x^2 \frac{dy}{dx} dx = x^2 f'(x) dx
を考えればよい.つまり
 V=\int_{a}^{b} \pi x^2 f'(x) dx
でよい.

さて,いよいよバームクーヘン積分を紹介する.
2つの曲線y=f(x)y=g(x)および直線x=a,x=bで囲まれた部分を
y軸のまわりに回転して得られる体積V
V=\int_{a}^{b}2 \pi |f(x)-g(x)| dx
で得られる.