バームクーヘン積分 - べっこう色の記録

関数を $y$ 軸の周りで回転させたときの体積はこれで決まりである．

紹介する前にノーマルな積分の方法も紹介する．
連続で単調増加関数 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ を考える．
数学IIIの教科書にもあるとおり， $y=c=f(a)$ から $y=d=f(b)$ および関数 $f$ で囲まれた部分の
$y$ 軸の回りの回転体の体積 $V$ は次のようである．
　 $V=\int_{c}^{d} \pi x^{2} dy$ ．
これは関数を $x$ について解いた場合の表示であるが， $x$ について解きにくいときには
　 $x^2 dy = x^2 \frac{dy}{dx} dx = x^2 f'(x) dx$
を考えればよい．つまり
　 $V=\int_{a}^{b} \pi x^2 f'(x) dx$
でよい．