ある連続関数の証明 - べっこう色の記録

問．実数上の関数 $f$ で，既約分数に対しては分子を1にし，無理数に対しては0となる関数は
各無理数では連続であることを示せ．

（20.6.13）
昔，全く解けず手も足も出なかった問題である．
この問題をここにアップしたときも解けていなかった．
時間があったら考えよう，という意図のもとであげたのを覚えている．

（22.9.23）
（証明）
任意の $\varepsilon > 0$ と無理数 $\alpha$ をとる．
アルキメデスの原理よりある $n_0 \in \mathbb{N}$ で $\frac{1}{n_0} < \varepsilon$ となるものが存在する．
ここで既約分数 $\frac{m}{n}$ （ $m \in \mathbb{Z}, n\in \mathbb{N}, n< n_0$ ）について，開区間 $(\alpha -1, \alpha +1)$ に属するものは高々有限個である．それらを $q_1,q_2,q_3, \ldots, q_N$ とする．
$\delta := \frac{1}{2} \min \{ 1, |q_1 -\alpha|, |q_2 - \alpha|, |q_3 - \alpha|, \ldots, |q_N -\alpha| \}$ とする．
$| x - \alpha| < \delta$ となるすべての $x$ について，
$x$ が有理数であれば既約分数で表すと分母は $n_0$ 以下であるから $|f(x)|< \varepsilon$ である．
$x$ が無理数であれば $f(x)=0$ より $|f(x)|< \varepsilon$ である．
したがって関数 $f$ は無理数 $\alpha$ で連続である．（証明終）

この問いを出されたのは10年以上前の学生のころだった．それがようやく解けた．
出題した先生もあまりの遅さにあきれるとは思うが，様々なことがあったこの間，時々思い出しぼんやり考えてまた忘れて，とやっていたからこそ解けた気がする．
今後もすぐに解けなくても，こうやって粘り強く勉強していこうと考えている．