積の極限


\lim_{n \to \infty}a_{n}=\alphaかつ\lim_{n \to \infty}b_{n}=\betaならば\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\alpha\betaを示せ.

(解説)
・収束する数列は有界数列である.

(証明)
任意の\varepsilon > 0をとる.
収束する数列は有界数列であるから,あるM>0が存在して,
すべてのn \in \mathbb{N}に対して|b_{n}| \leq Mである.
\lim_{n \to \infty}a_{n}=\alphaならば,あるn_{1} \in \mathbb{N}が存在して,n \geq n_{1}に対して|a_{n} - \alpha| < \frac{\varepsilon}{2M}が成り立つ.
\lim_{n \to \infty}b_{n}=\betaならば,あるn_{2} \in \mathbb{N}が存在して,n \geq n_{2}に対して|b_{n} - \beta| < \frac{\varepsilon}{2 |\alpha|}が成り立つ.
n \geq \max \{ n_{1},n_{2} \}に対して
  |a_{n}b_{n} - \alpha \beta|
\leq |a_{n}b_{n} -\alpha b_{n} + \alpha b_{n} - \alpha \beta|
\leq |b_{n}||a_{n} - \alpha|+ |\alpha| |b_{n} - \beta|
\leq M \times  \frac{\varepsilon}{2M} + |\alpha| \times \frac{\varepsilon}{2 |\alpha|}
= \varepsilon
ε-δ論法より\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\alpha\betaが示された.(証明終)

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