積の極限 - べっこう色の記録

問．
$\lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$ かつ $\lim_{n \to \infty}b_{n}=\beta$ ならば $\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta$ を示せ．

（解説）
・収束する数列は有界数列である．

（証明）
任意の $\varepsilon > 0$ をとる．
収束する数列は有界数列であるから，ある $M>0$ が存在して，
すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $|b_{n}| \leq M$ である．
$\lim_{n \to \infty}a_{n}=\alpha$ ならば，ある $n_{1} \in \mathbb{N}$ が存在して， $n \geq n_{1}$ に対して $|a_{n} - \alpha| < \frac{\varepsilon}{2M}$ が成り立つ．
$\lim_{n \to \infty}b_{n}=\beta$ ならば，ある $n_{2} \in \mathbb{N}$ が存在して， $n \geq n_{2}$ に対して $|b_{n} - \beta| < \frac{\varepsilon}{2 |\alpha|}$ が成り立つ．
$n \geq \max \{ n_{1},n_{2} \}$ に対して
　　 $|a_{n}b_{n} - \alpha \beta|$
$\leq |a_{n}b_{n} -\alpha b_{n} + \alpha b_{n} - \alpha \beta|$
$\leq |b_{n}||a_{n} - \alpha|+ |\alpha| |b_{n} - \beta|$
$\leq M \times \frac{\varepsilon}{2M} + |\alpha| \times \frac{\varepsilon}{2 |\alpha|}$
$= \varepsilon$ ．
ε-δ論法より $\lim_{n \to \infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta$ が示された．（証明終）