陰関数定理その２ - べっこう色の記録

具体例で使い方を追いかける．

例．
関数 $F(x,y)=x^{2}+y^{2}-1$ を考える．
$\frac{\partial}{\partial y}F(x,y)=2y$ である．
これより点P $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$ に対して， $\frac{\partial}{\partial y}F(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2} \neq 0$ となる．
陰関数定理より $\frac{\sqrt{2}}{2}$ を含む開近傍とその開近傍上で定義された陰関数が存在する．

この場合は $x^{2}+y^{2}-1=0$ より $y=\sqrt{1-x^{2}}$ である．