2015-02-16 積分の平均値の定理 数学 定理.(積分の平均値の定理) に対して,が存在して と表せる.□(証明) が定数関数であれば明らかである. そこでが定数関数ではないとする. このとき最大・最小値の定理より有界閉区間上最大値および最小値が存在する. すなわち () が成り立つ.両辺をからまで積分すると または連続関数であるから,が成り立つ. よっては関数の値域に属する. ゆえに中間値の定理により,が存在して と表せる.(証明終)