積分の平均値の定理

定理.(積分平均値の定理
f \in C^{0}([ a,b ])に対して,\xi \in (a,b)が存在して
  \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi)
と表せる.□

(証明)
fが定数関数であれば明らかである.
そこでfが定数関数ではないとする.
このとき最大・最小値の定理より有界閉区間[ a,b ]上最大値Mおよび最小値mが存在する.
すなわち
  m \leq f(x) \leq M (a \leq x \leq b
が成り立つ.両辺をaからbまで積分すると
  (b-a)m \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq (b-a) M
  m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M
またfは連続関数であるから,f([ a,b ])=[ m,M ]が成り立つ.
よって\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b}f(x)dxは関数fの値域に属する.
ゆえに中間値の定理により,\xiが存在して
  f(\xi)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx
と表せる.(証明終)

広告を非表示にする