1/(sin x)^2の積分 - べっこう色の記録

例．
$\int \frac{1}{\sin^2 x}dx$ を計算せよ．□

「暗記しろ」といわれてしまう問題だが，その場で計算することももちろんできる．

解）
$\int \frac{1}{\sin^2 x}dx$
$=\int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}dx$ 　　（ $\sin^2 x + \cos^2 x =1$ を用いた）
$=\int (1+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}) dx$
$=x + \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx$
$=x + \int (\frac{-1}{\sin x})' \cos x dx$ 　　（ $(\frac{1}{\sin x})'=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}$ を用いた）
$=x + \frac{-1}{\sin x} \cdot \cos x + \int \frac{1}{\sin x} \cdot (-\sin x) dx$ （部分積分法）
$=x + \frac{-\cos x}{\sin x} - x +C$
$=-\frac{1}{\tan x} + C$ ．（ $C$ は積分定数）□

やはり計算するよりも，覚えているほうがいい気がする．
これはどうだろう？

解2）
$\int \frac{1}{\sin^2 x}dx$
$=\int \frac{\cos x}{\sin^2 x \cos x }dx$ （ $\cos x$ を分子と分母にかけた）
$=\int (\frac{-1}{\sin x})' \frac{1}{\cos x} dx$
$=\frac{-1}{\sin x \cos x} - \int \frac{-1}{\sin x} (\frac{1}{\cos x})'dx$
$=\frac{-1}{\sin x \cos x} + \int \frac{1}{\sin x} (\frac{\sin x}{\cos^2 x})dx$
$=\frac{-1}{\sin x \cos x} + \int \frac{1}{\cos^2 x}dx$
$=\frac{-1}{\sin x \cos x} + \tan x +C$ （ $C$ は積分定数）□

やはり覚えているほうが早い気がする…．