1/(sin x)^2の積分


\int \frac{1}{\sin^2 x}dxを計算せよ.□

「暗記しろ」といわれてしまう問題だが,その場で計算することももちろんできる.

解)
\int \frac{1}{\sin^2 x}dx
=\int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x}dx  (\sin^2 x + \cos^2 x =1を用いた)
=\int (1+\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}) dx
=x + \int \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}dx
=x + \int (\frac{-1}{\sin x})' \cos x dx  ((\frac{1}{\sin x})'=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}を用いた)
=x + \frac{-1}{\sin x} \cdot \cos x + \int \frac{1}{\sin x} \cdot (-\sin x) dx(部分積分法)
=x + \frac{-\cos x}{\sin x} - x +C
=-\frac{1}{\tan x} + C.(C積分定数)□

やはり計算するよりも,覚えているほうがいい気がする.
これはどうだろう?

解2)
\int \frac{1}{\sin^2 x}dx
=\int \frac{\cos x}{\sin^2 x \cos x }dx\cos xを分子と分母にかけた)
=\int (\frac{-1}{\sin x})' \frac{1}{\cos x} dx
=\frac{-1}{\sin x \cos x} - \int \frac{-1}{\sin x} (\frac{1}{\cos x})'dx
=\frac{-1}{\sin x \cos x} + \int \frac{1}{\sin x} (\frac{\sin x}{\cos^2 x})dx
=\frac{-1}{\sin x \cos x} + \int \frac{1}{\cos^2 x}dx
=\frac{-1}{\sin x \cos x} + \tan x +CC積分定数)□

やはり覚えているほうが早い気がする….