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軌跡の問題を黙々と

高校のころ軌跡の問題が苦手だった.
この記事では黙々と軌跡の問題を解いていこうと思う.


A(3,0)B(0,3)に対して,AP=BPを満たす点Pの軌跡を求めよ.□

解)
P(X,Y)とおく.2点間の距離の公式から
  AP=BP
  \sqrt{(X-3)^{2}+Y^{2}}=\sqrt{X^{2}+(Y-3)^{2}}
となる.両辺を二乗して整理する.
  X=Y
よって点Pは直線y=x上に存在することがわかった.
逆に直線y=x上の任意の点をP(X,Y)とするとき,
  AP=\sqrt{(X-3)^{2}+Y^{2}}
     =\sqrt{X^{2}-6X+9+Y^{2}}
     =\sqrt{X^{2}-6Y+9+Y^{2}}  (X=Yを用いた)
     =\sqrt{X^{2}+Y^{2}-6Y+9}
     =\sqrt{X^{2}+(Y-3)^{2}}
     =BP
が得られる.
以上より点Pの軌跡は直線y=xである.(終)


2点A(-2,0)B(1,0)に対して,AP:BP=2:1を満たす点Pの軌跡を求めよ.□

解)
P(X,Y)とおく.AP:BP=2:1よりAP=2BPである.
両辺を二乗して,2点間の距離の公式を用いる.
  (X+2)^{2}+Y^{2}=4((X-1)^{2}+Y^{2})
展開する.
  X^{2}+4X+4+Y^{2}=4X^{2}-8X+4+4Y^{2}
整理すると
  X^{2}-4X+Y^{2}=0
  (X-2)^{2}+Y^{2}=2^{2}
よって点Pは中心(2,0),半径2の円上に存在することがわかった.
逆に円上の点は計算を逆にたどることでAP:BP=2:1を満たすことがわかる.
以上より点Pの軌跡は中心(2,0),半径2の円である.(終)

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