軌跡の問題を黙々と - べっこう色の記録

高校のころ軌跡の問題が苦手だった．
この記事では黙々と軌跡の問題を解いていこうと思う．

問．
点 $A(3,0)$ ， $B(0,3)$ に対して， $AP=BP$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ．□

解）
点 $P(X,Y)$ とおく．２点間の距離の公式から
　　 $AP=BP$
　　 $\sqrt{(X-3)^{2}+Y^{2}}=\sqrt{X^{2}+(Y-3)^{2}}$
となる．両辺を二乗して整理する．
　　 $X=Y$ ．
よって点 $P$ は直線 $y=x$ 上に存在することがわかった．
逆に直線 $y=x$ 上の任意の点を $P(X,Y)$ とするとき，
　　 $AP=\sqrt{(X-3)^{2}+Y^{2}}$
　　　　　 $=\sqrt{X^{2}-6X+9+Y^{2}}$
　　　　　 $=\sqrt{X^{2}-6Y+9+Y^{2}}$ 　　（ $X=Y$ を用いた）
　　　　　 $=\sqrt{X^{2}+Y^{2}-6Y+9}$
　　　　　 $=\sqrt{X^{2}+(Y-3)^{2}}$
　　　　　 $=BP$
が得られる．
以上より点 $P$ の軌跡は直線 $y=x$ である．（終）

問．
２点 $A(-2,0)$ ， $B(1,0)$ に対して， $AP:BP=2:1$ を満たす点 $P$ の軌跡を求めよ．□

解）
点 $P(X,Y)$ とおく． $AP:BP=2:1$ より $AP=2BP$ である．
両辺を二乗して，２点間の距離の公式を用いる．
　　 $(X+2)^{2}+Y^{2}=4((X-1)^{2}+Y^{2})$
展開する．
　　 $X^{2}+4X+4+Y^{2}=4X^{2}-8X+4+4Y^{2}$
整理すると
　　 $X^{2}-4X+Y^{2}=0$
　　 $(X-2)^{2}+Y^{2}=2^{2}$
よって点 $P$ は中心 $(2,0)$ ，半径2の円上に存在することがわかった．
逆に円上の点は計算を逆にたどることで $AP:BP=2:1$ を満たすことがわかる．
以上より点 $P$ の軌跡は中心 $(2,0)$ ，半径2の円である．（終）