ペアノの公理その１ - べっこう色の記録

自然数の公理として大変有名なものだが，私はさっぱり分からない．
理解のための記事である．

公理．（ペアノの公理）
次の５個の性質をもつ集合 $\mathbb{N}$ を自然数の集合という．その元を自然数という．
１） $1$ という元が属する．
２）すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して，後者 $n' \in \mathbb{N}$ が存在する．
３）すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して， $n' \not{=} 1$ である．
４） $n' = m'$ ならば $n=m$ である．
５） $\mathbb{N}$ の部分集合 $N$ にが次の２条件を満足するとする．
　　I） $1 \in N$ ．
　　II)任意の $n \in \mathbb{N}$ に対して「 $n \in N$ ならば $n' \in N$ 」が成り立つ．
　このとき $N=\mathbb{N}$ となる．□