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留数定理その3

定理
中心穴あき開円板 \{ z \in \mathbb{C} \mid 0 < |z-a| < R \}において正則な関数f
ローラン展開が次の式で与えられるとする.
  f(z)=\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-a)^{2}}+ \frac{a_{-1}}{z-a}+a_{0}+a_{1}(z-a)+\cdots
このとき,
  \int_{C_{r}}f(z)dz=2 \pi i a_{-1}
となる.□

(略証)
両辺積分し,右辺を項別積分する.
このとき留数定理その1で登場した事実を用いると\frac{1}{z-a}積分の値は2 \pi iであり,
それ以外の積分の値は0である.(略証終)

このa_{-1}fの点aにおける留数(residue)といい,{\rm Res}(f,a)で表す.
もしaにおける留数{\rm Res}(f,a)が何らかの方法で分かったとする.
そうすれば,
  2 \pi i {\rm Res}(f,a)= \int_{C_{r}}f(z)dz
であるから積分せずに積分の値が分かってしまうということを意味する.

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