留数定理その３ - べっこう色の記録

定理．
中心穴あき開円板 $\{ z \in \mathbb{C} \mid 0 < |z-a| < R \}$ において正則な関数 $f$
のローラン展開が次の式で与えられるとする．
　　 $f(z)=\cdots + \frac{a_{-2}}{(z-a)^{2}}+ \frac{a_{-1}}{z-a}+a_{0}+a_{1}(z-a)+\cdots$
このとき，
　　 $\int_{C_{r}}f(z)dz=2 \pi i a_{-1}$
となる．□

（略証）
両辺積分し，右辺を項別積分する．
このとき留数定理その１で登場した事実を用いると $\frac{1}{z-a}$ の積分の値は $2 \pi i$ であり，
それ以外の積分の値は0である．（略証終）

この $a_{-1}$ を $f$ の点 $a$ における留数（residue）といい， ${\rm Res}(f,a)$ で表す．
もし $a$ における留数 ${\rm Res}(f,a)$ が何らかの方法で分かったとする．
そうすれば，
　　 $2 \pi i {\rm Res}(f,a)= \int_{C_{r}}f(z)dz$
であるから積分せずに積分の値が分かってしまうということを意味する．