三角関数の定義を級数で行った場合の加法定理の証明

三角関数の定義は幾通りか存在する．
ここでは級数で定義し，加法定理を証明する．

定義．（三角関数）
$\displaystyle \sin x = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!}x^{2k-1}$
および
$\displaystyle \cos x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k)!}x^{2k}$
と定義する．□

定理．（三角関数の加法定理）
等式 $\sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ が成立する．□

（証明）
$\displaystyle \sin (x+y)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!}(x+y)^{2k-1}$

　　　　　　 $\displaystyle \, =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!} \sum_{j=0}^{2k-1} \left( \begin{array}{c} 2k-1 \\ j \\ \end{array} \right) x^{2k-1-j} y^{j}$ 　（二項定理）

　　　　　　 $\displaystyle \, =\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{(2k-1)!} \sum_{j=0}^{2k-1} \frac{(2k-1)!}{j! (2k-1-j)!}x^{2k-1-j} y^{j}$ 　（組み合わせの定義）

　　　　　　 $\displaystyle \, =\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{j=0}^{2k-1} \frac{(-1)^{k+1}}{j! (2k-1-j)!}x^{2k-1-j} y^{j}$

　　　　　　 $\displaystyle \, =\sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{(2j)!} y^{2j} \sum_{k=j+1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-j+1}}{(2(k-j)-1)!}x^{2(k-j)-1}$
　　　　　　　　 $\displaystyle +\sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j+1}}{(2j-1)!} y^{2j-1} \sum_{k=j}^{\infty} \frac{(-1)^{k-j}}{(2(k-j))!}x^{2(k-j)}$ 　（☆）