留数定理その2

べき級数の話を少しする.級数\displaystyle f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x^{k}を考える.

定理
あるx_{0} \neq 0級数f(x_{0})が収束するならば,
すべての|x|<|x_{0}|においてf(x)は絶対収束する.□

(証明)
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}x_{0}^{k}<\inftyであるから,\displaystyle \lim_{k \to \infty} a_{k}x_{0}^{k}=0が成り立つ.
これより,すべてのkに対して|a_{k}x_{0}^{k} |< M となるMが存在する.
任意の|x|<|x_{0}|に対して,
\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}x^{k}|
\displaystyle =\sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}x_{0}^{k}||\frac{x}{x_{0}}|^{k}
\displaystyle \leq \sum_{k=0}^{\infty}M|\frac{x}{x_{0}}|^{k} (|x|<|x_{0}|より|\frac{x}{x_{0}}|<1であるから無限等比級数の和の公式)
=M \frac{1}{1-|\frac{x}{x_{0}}|} < \infty.(証明終)