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留数定理その1

ある領域\{ z \in \mathbb{C} \mid 0 < | z-a | < R \}において正則な関数fを考える.
任意の0 < r < Rに対して,円周C_{r}=\{ z \in \mathbb{C} \mid |z-a|=r \} 上の複素積分を考える.

命題
  \int_{C_{r}} (z-a)^{n} dz =\left\{ \begin{array}{ll} 2 \pi i & (n=-1) \\ 0 & (n \not{=} -1) \\ \end{array} \right.

(証明)
円周C_{r}の媒介変数表示はz(t)=a+re^{it}0 \leq t \leq 2 \pi)で与えられる.
複素積分の定義より
  \int_{C_{r}} (z-a)^{n} dz = \int_{0}^{2 \pi} r^{n} e^{in t} r i e^{i t} dt
           = i r^{n+1} \int_{0}^{2 \pi}  e^{i (n+1) t} dt
となる.n \not{=} -1ならば
  i r^{n+1} \int_{0}^{2 \pi}  e^{i (n+1) t} dt = i r^{n+1} [ \frac{1}{i(n+1)} e^{i (n+1) t} ]_{t=0}^{2 \pi} =0
である.n=-1ならばn+1=0であるから,
  i  \int_{0}^{2 \pi}  dt = 2 \pi i
である.(証明終)

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