留数定理その１ - べっこう色の記録

ある領域 $\{ z \in \mathbb{C} \mid 0 < | z-a | < R \}$ において正則な関数 $f$ を考える．
任意の $0 < r < R$ に対して，円周 $C_{r}=\{ z \in \mathbb{C} \mid |z-a|=r \}$ 上の複素積分を考える．

命題．
　　 $\int_{C_{r}} (z-a)^{n} dz =\left\{ \begin{array}{ll} 2 \pi i & (n=-1) \\ 0 & (n \neq -1) \\ \end{array} \right.$ □

（証明）
円周 $C_{r}$ の媒介変数表示は $z(t)=a+re^{it}$ （ $0 \leq t \< 2 \pi$ ）で与えられる．
複素積分の定義より
　　 $\int_{C_{r}} (z-a)^{n} dz = \int_{0}^{2 \pi} r^{n} e^{in t} r i e^{i t} dt$
　　　　　　　　　　　 $= i r^{n+1} \int_{0}^{2 \pi} e^{i (n+1) t} dt$
となる． $n \neq -1$ ならば
　　 $i r^{n+1} \int_{0}^{2 \pi} e^{i (n+1) t} dt = i r^{n+1} [ \frac{1}{i(n+1)} e^{i (n+1) t} ]_{t=0}^{2 \pi} =0$
である． $n=-1$ ならば $n+1=0$ であるから，
　　 $i \int_{0}^{2 \pi} dt = 2 \pi i$
である．（証明終）