はさみうちの原理

ε-N論法で証明する典型だが書いておこう.
ちなみに私がε-N論法ではじめてうまく証明できたもので印象深い.

定理.(はさみうちの原理)
3つの実数列\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}\{ b_{n} \}_{n=1}^{\infty}\{ c_{n} \}_{n=1}^{\infty}について,すべての自然数nに対してa_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}であり,かつ\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty } c_{n} = \alphaならば\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha である.□

(証明)
任意の\varepsilon > 0をとる.
\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alphaおよび\displaystyle \lim_{n \to \infty } c_{n} = \alphaであるから,ε-N論法を用いた収束の定義より
あるn_{0} \in \mathbb{N}n \geq n_{0} ならば |a_{n} - \alpha | < \varepsilonかつ|c_{n} - \alpha | < \varepsilonを満たすものが存在する.
n \geq n_{0}のもとで考える.上の式の絶対値を外すと\alpha - \varepsilon < a_{n} < \alpha + \varepsilonかつ\alpha - \varepsilon < c_{n} < \alpha + \varepsilonとなる.
これより与えられた条件の不等式から \alpha - \varepsilon < a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} < \alpha + \varepsilonを得る.
よって\alpha - \varepsilon < b_{n} < \alpha + \varepsilonであるから,|b_{n} - \alpha | < \varepsilon となる.
収束の定義からこれは\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha を意味する.(証明終)

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