はさみうちの原理 - べっこう色の記録

ε-N論法で証明する典型だが書いておこう．
ちなみに私がε-N論法ではじめてうまく証明できたもので印象深い．

定理．（はさみうちの原理）
3つの実数列 $\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ ， $\{ b_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ ， $\{ c_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ について，すべての自然数 $n$ に対して $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ であり，かつ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \lim_{n \to \infty } c_{n} = \alpha$ ならば $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha$ である．□

（証明）
任意の $\varepsilon > 0$ をとる．
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_{n} = \alpha$ および $\displaystyle \lim_{n \to \infty } c_{n} = \alpha$ であるから，ε-N論法を用いた収束の定義より
ある $n_{0} \in \mathbb{N}$ で $n \geq n_{0}$ 　ならば　 $|a_{n} - \alpha | < \varepsilon$ かつ $|c_{n} - \alpha | < \varepsilon$ を満たすものが存在する．
$n \geq n_{0}$ のもとで考える．上の式の絶対値を外すと $\alpha - \varepsilon < a_{n} < \alpha + \varepsilon$ かつ $\alpha - \varepsilon < c_{n} < \alpha + \varepsilon$ となる．
これより与えられた条件の不等式から $\alpha - \varepsilon < a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} < \alpha + \varepsilon$ を得る．
よって $\alpha - \varepsilon < b_{n} < \alpha + \varepsilon$ であるから， $|b_{n} - \alpha | < \varepsilon$ となる．
収束の定義からこれは $\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_{n} = \alpha$ を意味する．（証明終）