ある極限値の問について

大学でよく出題される問題である.


\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n!}=0を示せ.□

解)
n>3に対してn! > 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdots 2 \cdot 1=3^{n-2} \cdot 2 \cdot 1である.
これより0< \frac{2^{n}}{n!} < \frac{2^{n}}{3^{n-2} \cdot 2 \cdot 1}=2 \times (\frac{2}{3})^{n-2} である.
\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^{n-2} =0よりはさみうちの原理から\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n}}{n!}=0が示された.(証明終)