媒介変数の微分 - べっこう色の記録

関数がパラメータ $t$ で $x=f(t)$ 及び $y=g(t)$ とあらわされるとき，
導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める，というのは数学IIIでも習う問題である．

実際次のようにして求められる．
　　 $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}$ ．
まるで分数のように $dt$ を用いればよいので，大変記憶もしやすい．

それでは二階微分 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ の場合はどうなるだろうか．
まず第一に言いたいのは，次の式は間違いである，ということである．
　×　 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac{d^{2}x}{dt^{2}}}$

それでは何が正しいのか．このように解釈しなければならない．
　　 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}( \frac{dy}{dx})$ 　　　　　（二階微分の定義）
　　　　　 $=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})/\frac{dx}{dt}$ 　　　（ここでパラメータの微分）
　　　　　 $=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dt}/\frac{dx}{dt})/\frac{dx}{dt}$
　　　　　 $=\frac{d}{dt}(\frac{g'(t)}{f'(t)}) \frac{1}{f'(x)}$
　　　　　 $=\frac{g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)}{(f'(t))^{2}} \frac{1}{f'(x)}$
　　　　　 $=\frac{g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)}{(f'(t))^{3}}$ ．