2つの円と接線 - べっこう色の記録

岩手大学農学部2010年問2より．一部分を抜き出した．

命題．
鋭角三角形 ${\rm ABC}$ において，点 ${\rm A}$ を通り点 ${\rm B}$ で接する円の中心を点 ${\rm D}$ とし，
点 ${\rm A}$ を通り点 ${\rm C}$ で接する円の中心を ${\rm E}$ とする．
このとき，∠ ${\rm DAE}$ $=$ 2∠ ${\rm A}$ が成り立つ．

（証明）
∠ ${\rm DAE}$ =∠ ${\rm A}$ $+$ ∠ ${\rm DAB}$ $+$ ∠ ${\rm EAC}$ であるから∠ ${\rm DAB}$ $+$ ∠ ${\rm EAC}$ =∠ ${\rm A}$ を示す．
$\triangle {\rm DBA}$ は ${\rm DB}={\rm DA}$ の二等辺三角形であるから，∠ ${\rm DAB}$ $=$ ∠ ${\rm DBA}$ が成り立つ．・・・（１）
$\triangle {\rm EAC}$ は ${\rm EA}={\rm EC}$ の二等辺三角形であるから，∠ ${\rm EAC}$ $=$ ∠ ${\rm ECA}$ が成り立つ．・・・（２）
辺 ${\rm BC}$ は両端を延長すると接線となるので，∠ ${\rm DBA}$ $+$ ∠ ${\rm B}$ =∠ ${\rm ECA}$ $+$ ∠ ${\rm C}$ $=$ $\frac{\pi}{2}$ となる．
ゆえに，∠ ${\rm DBA}$ $+$ ∠ ${\rm B}$ $+$ ∠ ${\rm ECA}$ $+$ ∠ ${\rm C}$ $=$ $\pi$ であり，
∠ ${\rm A}$ $+$ ∠ ${\rm B}$ $+$ ∠ ${\rm C}$ $=$ $\pi$ と合わせて∠ ${\rm DBA}$ $+$ ∠ ${\rm ECA}$ =∠ ${\rm A}$ が導かれる．
（１），（２）より∠ ${\rm DAB}$ $+$ ∠ ${\rm EAC}$ =∠ ${\rm A}$ が示された．（証明終）