差集合について - べっこう色の記録

全体集合 $X$ の部分集合を $A,B$ とする．
このとき，差集合を次で定義する． $A \setminus B =\{ x \mid x \in A , x \notin B \}$ ．

差集合の集合算を考えたい．

まず大切なこととして， $x \notin A \Leftrightarrow x \in A^{c}$ であることは押えておく．

命題１．
$(A \setminus B ) \setminus C = A \setminus (B \cup C)$ ．

（証明）
$(A \setminus B ) \setminus C \subset A \setminus (B \cup C)$ を示す．
$x \in (A \setminus B ) \setminus C$ を言い換えると， $x \in A$ かつ $x \notin B$ かつ $x \notin C$ である．
とくに「 $x \notin B$ かつ $x \notin C$ 」は「 $x \in B^{c}$ かつ $x \in C^{c}$ 」である．
言い換えると $x \in B^{c} \cap C^{c}$ ということである．
ここでド・モルガンの法則により $x \in (B \cup C)^{c}$ となる．
ゆえに $x \notin B \cup C$ であるから， $x \in A \setminus (B \cup C)$ である．
逆の包含関係については下から上に辿っていけばよい．（証明終）

命題２．
$A \setminus (A \cap B) = A \cap B^c$ ．

（証明）
$x \in A \setminus (A \cap B)$ とする．
これは $x \in A$ かつ $x \notin A \cap B$ である．
後半について，言い換えると次の三通りのうちのどれかである．
１） $x \in A$ かつ $x \notin B$
２） $x \notin A$ かつ $x \in B$
３） $x \notin A$ かつ $x \notin B$
$x \in A$ より，１）の場合しかありえない．
よって， $x \in A$ かつ $x \in B^c$ であるから $x \in A \cap B^c$ である．
逆向きの包含関係は証明を下から上へ辿っていけばよい．（証明終）