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差集合について

全体集合Xの部分集合をA,Bとする.
このとき,差集合を次で定義する.A \setminus B =\{ x \mid x \in A , x \notin B \}

差集合の集合算を考えたい.

まず大切なこととして,x \notin A \Leftrightarrow x \in A^{c}であることは押えておく.

命題1.
(A \setminus B ) \setminus C = A \setminus (B \cup C)

(証明)
(A \setminus B ) \setminus C \subset A \setminus (B \cup C)を示す.
x \in (A \setminus B ) \setminus Cを言い換えると,x \in Aかつx \notin Bかつx \notin Cである.
とくに「x \notin Bかつx \notin C」は「x \in B^{c}かつx \in C^{c}」である.
言い換えるとx \in B^{c} \cap C^{c}ということである.
ここでド・モルガンの法則によりx \in (B \cup C)^{c}となる.
ゆえに x \notin B \cup Cであるから,x \in A \setminus (B \cup C)である.
逆の包含関係については下から上に辿っていけばよい.(証明終)

命題2.
A \setminus (A \cap B) = A \cap B^c

(証明)
x \in A \setminus (A \cap B)とする.
これはx \in A かつ  x \notin A \cap B である.
後半について,言い換えると次の三通りのうちのどれかである.
1)x \in A かつ x \notin B
2)x \notin A かつ  x \in B
3)x \notin A かつ  x \notin B
x \in Aより,1)の場合しかありえない.
よって,x \in A かつ x \in B^cであるからx \in A \cap B^cである.
逆向きの包含関係は証明を下から上へ辿っていけばよい.(証明終)

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