読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

自然対数の積分表示

高校数学3ではじめてこの積分を習う.

\displaystyle \int_{1}^{x} \frac{1}{t}dt = \log x

つまり,右辺を左辺で定義することもできるわけだ.
有名な対数の性質も左辺も証明できよう.

例.
\log x^{r} = r \log x

(解)
\displaystyle \int_{1}^{x^{r}}\frac{1}{t}dtについて,t=s^{r}という置換をおこなう.
dt = r s^{r-1}dsかつ s : 1 \to xとなる.
つまり\displaystyle \int_{1}^{x^{r}}\frac{1}{t}dt = \int_{1}^{x} \frac{1}{s^{r}}r s^{r-1}ds = r \int_{1}^{x} \frac{1}{s}ds.(終)

広告を非表示にする