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任意のεについて

高校ではまったく出てこないが重要な論法がある.

命題
a,b が定数で,任意の\varepsilon > 0に対して,
  a < b + \varepsilon
が成り立つならばa \leq b である.□

右辺にいくらでも小さくできる項が含まれていると,その項を取り除いても等号付きで不等号が成立する.
証明は背理法による.

(証明)
背理法を用いる.a > bであると仮定する.
このとき\varepsilon = a - b > 0ととると,\displaystyle a < b + (a - b)よりa < aとなる.
これは矛盾である.したがって,a \leq bである.(証明終)

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