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連続関数と可測関数

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す.

定理
関数\varphi : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R} を連続とする.
またf, gは有限な値を持つ実数値可測関数とする.
このとき,F(x):=\varphi(f(x),g(x))も可測関数である.

可測であること

(証明)
\mathbb{R}, \mathbb{R}^2の開基として,開区間をとることができる.
\varphiは連続であるから(a,b)という開区間に対して,\varphi^{-1}( (a,b) )は開集合である.
よって,\mathbb{R}^2は直積空間として,\mathbb{R}区間の直積の合併で表せる.つまり
 \displaystyle \varphi^{-1}( (a,\infty) )=\bigcup_{k=1}^{\infty} (x_{1j}, x_{2j}) \times (y_{1j},y_{2j})
となる.これから
\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid \varphi(f(x),g(x)) > \alpha \}
= F^{-1} ( ( \alpha, \infty)  )
\displaystyle = \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid ( f(x),g(x) ) \in  \bigcup_{k=1}^{\infty} (x_{1j}, x_{2j}) \times (y_{1j},y_{2j}) \}
\displaystyle =\bigcup_{k=1}^{\infty} \{ x \mid x_{1k} < f(x) < x_{2k} \} \cap \{ x \mid y_{1k} < g(x) < y_{2k} \}
等式の最後は可測集合なので示された.(証明終)

この定理の威力は素晴らしく,次の系はほとんど明らかとなる.


(i) 可測関数全体の集合は\mathbb{C}上のベクトル空間である.
(ii) f, gが可測関数ならば積fg,商f/gg \neq 0 a.e.)は可測関数である.
(iii) fが可測関数ならば絶対値のp|f|^pは可測関数である.
(iv) fが実数値可測関数ならば正の部分f^+は可測関数である.

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