連続関数と可測関数 - べっこう色の記録

連続関数と可測関数の合成がまた可測関数になることを示す．

定理．
関数 $\varphi : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ を連続とする．
また $f, g$ は有限な値を持つ実数値可測関数とする．
このとき， $F(x):=\varphi(f(x),g(x))$ も可測関数である．

可測であること

（証明）
$\mathbb{R}, \mathbb{R}^2$ の開基として，開区間をとることができる．
$\varphi$ は連続であるから $(a,b)$ という開区間に対して， $\varphi^{-1}( (a,b) )$ は開集合である．
よって， $\mathbb{R}^2$ は直積空間として， $\mathbb{R}$ の区間の直積の合併で表せる．つまり
　 $\displaystyle \varphi^{-1}( (a,\infty) )=\bigcup_{k=1}^{\infty} (x_{1j}, x_{2j}) \times (y_{1j},y_{2j})$
となる．これから
$\{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid \varphi(f(x),g(x)) > \alpha \}$
$= F^{-1} ( ( \alpha, \infty) )$
$\displaystyle = \{ x \in \mathbb{R}^{d} \mid ( f(x),g(x) ) \in \bigcup_{k=1}^{\infty} (x_{1j}, x_{2j}) \times (y_{1j},y_{2j}) \}$
$\displaystyle =\bigcup_{k=1}^{\infty} \{ x \mid x_{1k} < f(x) < x_{2k} \} \cap \{ x \mid y_{1k} < g(x) < y_{2k} \}$ ．
等式の最後は可測集合なので示された．（証明終）

この定理の威力は素晴らしく，次の系はほとんど明らかとなる．

系．
(i) 可測関数全体の集合は $\mathbb{C}$ 上のベクトル空間である．
(ii) $f, g$ が可測関数ならば積 $fg$ ，商 $f/g$ （ $g \neq 0$ a.e.）は可測関数である．
(iii) $f$ が可測関数ならば絶対値の $p$ 乗 $|f|^p$ は可測関数である．
(iv) $f$ が実数値可測関数ならば正の部分 $f^+$ は可測関数である．