べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

連続写像の議論

数学

連続写像の定義は一見よく分からない．

位相空間(X,{\cal O}(X))，(Y,{\cal O}(Y))における写像f:X \to Yが連続であるとは，
任意のO' \in {\cal O}(Y)に対してf^{-1}(O') \in {\cal O}(X)が成り立つことをいう．

具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう．
関数 \varphi : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}　が連続であるとする．
このとき(a, \infty) \in {\cal O}(\mathbb{R})という開区間に対して逆像を考える．
　　\varphi ^{-1} ( ( a , \infty ) ) = \{ (s,t) \mid \varphi(s,t) > a \}