連続写像の議論

連続写像の定義は一見よく分からない.

位相空間(X,{\cal O}(X))(Y,{\cal O}(Y))における写像f:X \to Yが連続であるとは,
任意のO' \in {\cal O}(Y)に対してf^{-1}(O') \in {\cal O}(X)が成り立つことをいう.

具体的な例で抽象論を取り扱ってみよう.
関数 \varphi : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R} が連続であるとする.
このとき(a, \infty) \in {\cal O}(\mathbb{R})という開区間に対して逆像を考える.
  \varphi ^{-1} ( ( a , \infty ) ) = \{ (s,t) \mid \varphi(s,t) > a \}

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