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可測関数の定義と同値な条件

数学

補題.(可測関数であるための条件)
関数 f に対して次のそれぞれの条件は同値である.
(i)関数 f は可測関数である.
(ii)任意の a \in \mathbb{R}に対して,\{ x \mid f(x) \geq a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})
(ii)任意の a \in \mathbb{R}に対して,\{ x \mid f(x) < a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})
(iv)任意の a \in \mathbb{R}に対して,\{ x \mid f(x) \leq a \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})
(v)任意の a,b \in \mathbb{R}に対して,\{ x \mid a \leq f(x) < b \} \in \cal{M}(\mathbb{R}^{d})

すぐ気がつくと思うが,不等号がどのように置き換わっても同値になるのである.
証明については,よく知られているこの話と同じようにすればよい.

例題
開集合の無限個の共通部分は開集合とは限らないことを示せ.

(例題の証明)
次の開集合列を考える.\{ (0, 1+\frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb{N}\}
\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}(0,1+\frac{1}{n})=(0, 1 ] \notin \cal{O}(\mathbb{R}).(証明終)

この例題は可算無限個の開集合から閉集合を作り出す手がかりとなる.