べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

半連続関数

数学

定義．（半連続）
$f$ を $\mathbb{R}^{d}$ 上の関数とし，値域は $[ 0, \infty]$ の部分集合であるとする．
任意の $a>0$ に対して， $\{ x \mid f(x) > a \} \in \cal{O}(\mathbb{R}^{d})$ が成り立つとき， $f$ は下半連続関数である，という．
また上記の集合の不等号 $>$ を $<$ に変えたものが成り立つとき，上半連続関数であるという．

下半連続関数は下からのどのような評価にも開集合になるという条件である．
ちなみに関数のグラフでいうと，不連続点における値がグラフの下側の値につながっているものである．
具体例を挙げるならば，次のようなものである．

例．（下半連続関数）
関数を次のように定義すると下半連続関数である．
$x \leq 0$ の場合 $f(x)=0$ で， $x>0$ の場合 $f(x)=1$ ．

この半連続の定義は可測関数の定義によく似ている．
実際に，半連続関数は可測関数である．
それは開集合が可測集合であるから明らかである．