アルキメデスの原理

物理で同じ名前の原理があるが,これはそれではない.
次の原理である.

命題.(アルキメデスの原理)
任意のa,b >0に対して,あるn \in \mathbb{N}が存在してan>bが成り立つ.□

a>0がどんなに「小さ」く,b>0 がどんなに「大きい」数でも,
2倍,3倍…とするといつかはその「大きい」数を追い抜く瞬間が訪れるということである.
ちりも積もれば山となる.

さて,この原理を用いると次の当たり前に思えるものも証明できる.

命題.(自然数の集合の非有界性)
自然数の集合\mathbb{N}は上に有界ではない.□

(証明)
任意のb>0に対し,命題のa1にとればよい.(証明終)

また極限計算の基本中の基本である\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0も示すことができる.

(証明)
任意の\varepsilon > 0をとる.
このとき,アルキメデスの原理から,あるn_{0} \in \mathbb{N}が存在して\varepsilon n_{0} >1が成り立つ.
つまり\frac{1}{n_{0}} < \varepsilonがわかる.
すべてのn \geq n_{0}に対して0 < \frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}<\varepsilonとなる.
\varepsilon-N論法によって示された.(証明終)

広告を非表示にする