岩手大学2015農学部第3問アを解く

問．
四面体OABCにおいて，辺OAの中点をP，辺BCを2:1に内分する点をQ，辺OCを1:3に内分する点をR，辺ABを $s:(1-s)$ に内分する点をSとする．ただし， $0 < s < 1$ とする．また， $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$ とおくとき，次の問いに答えよ．
(1) $\overrightarrow{PQ}$ を $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ および $\overrightarrow{c}$ で表せ．
(2) $\overrightarrow{RS}$ を $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ および $s$ で表せ．
(3) 線分PQと線分RSが交わるときの $s$ の値を求めよ．

解
(1)
$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2} \overrightarrow{a}$ かつ $\overrightarrow{OQ}= \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ から
$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}+ \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}$ ．

(2)
$\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{c}$ かつ $\overrightarrow{OS}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}$ から
$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR}=(1-s) \overrightarrow{a}+ s \overrightarrow{b} -\frac{1}{4} \overrightarrow{c}$ ．

(3)
２線分の交点をTとする．このとき， $\overrightarrow{OT}$ は各々の線分上にある条件から次の２個の表示を持つ．
線分PQ上に存在するから $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}$ ．
線分RS上に存在するから $\overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}$ ．
つまり $\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}$ である．
これより， $(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}r \overrightarrow{b} + \frac{2}{3}r\overrightarrow{c}=(1-s)t\overrightarrow{a} + st \overrightarrow{b} + (\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t)\overrightarrow{c}$ を得る．
四面体の辺を幾何ベクトルとみなしているので， $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ は線型独立である．
ゆえに係数比較可能で $\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r=(1-s)t, \frac{1}{3}r =st, \frac{2}{3}r = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}t$ という３元１次連立方程式となる．
これを解いて， $(r,s,t)=(\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{7}{15})$ を得る．つまり $s= \frac{1}{7}$ である．

べっこう色の記録

かつては日記でしたが、現在は数学のことを多く書いています

岩手大学2015農学部第3問アを解く