岩手大学2015農学部第3問アを解く

問.
四面体OABCにおいて,辺OAの中点をP,辺BCを2:1に内分する点をQ,辺OCを1:3に内分する点をR,辺ABを s:(1-s)に内分する点をSとする.ただし,0 < s < 1とする.また,\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b},\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}とおくとき,次の問いに答えよ.
(1) \overrightarrow{PQ}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}および\overrightarrow{c}で表せ.
(2) \overrightarrow{RS}\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}およびsで表せ.
(3) 線分PQと線分RSが交わるときのsの値を求めよ.


(1)
\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2} \overrightarrow{a} かつ \overrightarrow{OQ}= \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}から
\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{a}+ \frac{1}{3} \overrightarrow{b}+\frac{2}{3}\overrightarrow{c}

(2)
\overrightarrow{OR} = \frac{1}{4}\overrightarrow{c} かつ \overrightarrow{OS}=(1-s)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}から
\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR}=(1-s) \overrightarrow{a}+ s \overrightarrow{b} -\frac{1}{4} \overrightarrow{c}

(3)
2線分の交点をTとする.このとき,\overrightarrow{OT}は各々の線分上にある条件から次の2個の表示を持つ.
線分PQ上に存在するから \overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}
線分RS上に存在するから \overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS}
つまり \overrightarrow{OP}+r \overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OR}+t \overrightarrow{RS} である.
これより,(\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r)\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}r \overrightarrow{b} + \frac{2}{3}r\overrightarrow{c}=(1-s)t\overrightarrow{a} + st \overrightarrow{b} + (\frac{1}{4}-\frac{1}{4}t)\overrightarrow{c}を得る.
四面体の辺を幾何ベクトルとみなしているので,\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}は線型独立である.
ゆえに係数比較可能で\frac{1}{2} -\frac{1}{2}r=(1-s)t, \frac{1}{3}r =st,  \frac{2}{3}r = \frac{1}{4}-\frac{1}{4}tという3元1次連立方程式となる.
これを解いて,(r,s,t)=(\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{7}{15})を得る.つまり s= \frac{1}{7}である.