外接円の問題(2014.12.27)

トレーニングノートβ 数学A 受験研究社 の問題102より.

どの直線も互いに平行でない4直線が交わって,4つの三角形ができているとき,
それらの外接円はすべて同一の点を通ることを証明せよ.□

正直に告白するととても苦労した.
何日か前に書いていた円周角の定理の話はこの問題への布石である.

(証明)

上の図のように点に名前をふる.
{\rm P}を三角形{\rm AEB}の外接円と三角形{\rm ADC}の外接円の交点とする.

すなわち次の同色の点が同一円周上に存在するということである.

円周角の定理より,次の角の相等がいえる.
 ∠{\rm BAP}={\rm BEP}かつ∠{\rm EAP}={\rm EBP}(赤い●に対する円周角の定理)
 ∠{\rm CAP}={\rm CDP}かつ∠{\rm DAP}={\rm DCP}(青い●に対する円周角の定理)

よって
 ∠{\rm FEP}={\rm FCP}かつ∠{\rm FDP}={\rm FBP}
となり,円周角の定理の逆から点{\rm E,F,P,C}および点{\rm D,B,P,F}はそれぞれ同一円周上に存在する.
すなわち4つの三角形の外接円はすべて点{\rm P}を通ることが示された.(証明終)