対数の積分のちょっとした話 - べっこう色の記録

問．
次の不定積分を計算せよ．ただし $C$ を積分定数とする．
(1) $\int \frac{\log x}{x} dx$
(2) $\int \frac{1}{x \log x} dx$

$\frac{1}{x}$ に対して $\log x$ が，
分子にあっても分母にあっても積分が計算できるのは驚きだ．

（解）
(1)
　　 $\int \frac{\log x}{x} dx$
$=\int \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) dx$
$=\int \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}((\log x)^{2}) dx$
$=\frac{1}{2} (\log x)^{2} + C$ ．

(2)
　　 $\int \frac{1}{x \log x} dx$
$=\int \frac{\frac{1}{x}}{\log x} dx$
$=\int \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\log x} dx$
$=\log | \log x | + C$ ．　（終）