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対数の積分のちょっとした話

問.
次の不定積分を計算せよ.ただしC積分定数とする.
(1)\int \frac{\log x}{x} dx
(2)\int \frac{1}{x \log x} dx

\frac{1}{x}に対して\log xが,
分子にあっても分母にあっても積分が計算できるのは驚きだ.

(解)
(1)
  \int \frac{\log x}{x} dx
=\int \log x \cdot \frac{d}{dx}(\log x) dx
=\int \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{dx}((\log x)^{2}) dx
=\frac{1}{2} (\log x)^{2} + C

(2)
  \int \frac{1}{x \log x} dx
=\int \frac{\frac{1}{x}}{\log x} dx
=\int \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\log x} dx
=\log | \log x | + C. (終)