行列式と逆行列 - べっこう色の記録

相変わらず行列式はよく分からない．
よく分からないなりに，逆行列の原理は分かった気がする．

１）一意的であること
$n$ 次正方行列 $A=(a_{jk})_{j,k=1}^{n}$ に対して逆行列 $A^{-1}$ は一意的である．
まず $A_{1}A=AA_{2}=E$ となる $A_{1},A_{2}$ が存在するとする．
行列の積の結合法則から，
$A_{1}=A_{1}E=A_{1}(AA_{2})=(A_{1}A)A_{2}=EA_{2}=A_{2}$ となる．
逆行列の定義 $A^{-1}A=AA^{-1}=E$ から，一意性が分かる．

２）余因子展開の式を眺める
行列 $A$ の $(j,k)$ 余因子を $A_{jk}$ であらわす．
このとき，次の二式が成り立つ．
$\sum_{j=1}^{n} a_{jk}A_{jk}=\det A$ 　つまり　 $\frac{1}{\det A}\sum_{k=1}^{n} a_{jk}A_{jk}=1$ ．
$\sum_{j=1}^{n} a_{jk}A_{jl}=0$ 　 $(k \not{=} l)$ ．
行列式の定義と性質を組み合わせると出てくる式である．
この二式から，逆行列を導出できるのである．

３）逆行列の構成
余因子行列を $\tilde{A}:=(A_{jk})_{j,k=1}^{n}$ と定め， $A^{-1}=\frac{1}{\det A } {}^t \tilde{A}$ と定めると逆行列である．

しかし，どうしてこれでうまくいくことに気がついたのかよく分からない．