マニアックな漸化式 - べっこう色の記録

隣接二項間漸化式のマニアックなものを考えた．
もちろん考える必要はないものだ．暇だった，それがすべてだ．

問．
次の漸化式で定義される数列 $\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2^{n}+3^{n}$ ．□

まず漸化式の両辺を $3^{n+1}$ で割る．（指数があるときの定跡）
　　 $\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3} \frac{a_{n}}{3^{n}} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n} + \frac{1}{3}$ ．
項数をひとつずらして引く．（ $\frac{1}{3}$ を消去する目的）
　　 $\frac{a_{n+2}}{3^{n+2}} - \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n+1} - (\frac{2}{3} \frac{a_{n}}{3^{n}} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n} )$
　　　　　　　　　　 $=\frac{2}{3} (\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} - \frac{a_{n}}{3^{n}} ) + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n}(\frac{2}{3}-1)$ ．　　　（ $(\frac{2}{3})^{n+1}-(\frac{2}{3})^{n}$ において $(\frac{2}{3})^{n}$ でくくった）
$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} - \frac{a_{n}}{3^{n}}$ をひとつの数列としてみると，これは指数を含む隣接二項間漸化式であるから解ける．

マニアックすぎてなんの役に立つかわからない．