マニアックな漸化式

隣接二項間漸化式のマニアックなものを考えた.
もちろん考える必要はないものだ.暇だった,それがすべてだ.


次の漸化式で定義される数列\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty}の一般項を求めよ.
a_{1}=1,a_{n+1}=2a_{n}+2^{n}+3^{n}.□

まず漸化式の両辺を3^{n+1}で割る.(指数があるときの定跡)
  \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3} \frac{a_{n}}{3^{n}} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n} + \frac{1}{3}
項数をひとつずらして引く.(\frac{1}{3}を消去する目的)
  \frac{a_{n+2}}{3^{n+2}} - \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{2}{3} \frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n+1} - (\frac{2}{3} \frac{a_{n}}{3^{n}} + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n} )
          =\frac{2}{3} (\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} -  \frac{a_{n}}{3^{n}} ) + \frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n}(\frac{2}{3}-1).   ((\frac{2}{3})^{n+1}-(\frac{2}{3})^{n}において(\frac{2}{3})^{n}でくくった)
\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} -  \frac{a_{n}}{3^{n}}をひとつの数列としてみると,これは指数を含む隣接二項間漸化式であるから解ける.

マニアックすぎてなんの役に立つかわからない.

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