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もう少し考えてみると

命題
1 + 2 + \cdots + n + n + \cdots +2 + 1 =n^{2}+n.□

この等式が成り立つことは明らかである.
またk+k=2kより偶数和に等しいのである.
つまり\cdots +(n-1)+ n +(n-1) + \cdotsのように数が折り返して戻るときは奇数和に,
 \cdots + (n-1) + n + n + (n-1) + \cdotsのように折り返すときは偶数和になるということだ.

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