お、と思った等式

ふと次の等式が成り立つことに気がついた.

命題
1+2+3+ \cdots + (n-1)+ n + (n-1)+ \cdots +3+2+1=n^{2}.□

(証明)
  1+2+3+ \cdots + (n-1)+ n + (n-1)+ \cdots +3+2+1
=2(1+2+ \cdots +(n-1)) +n
=2 \cdot \frac{1}{2}n(n-1)+n  (自然数の和の公式)
=n^{2} -n + n
=n^{2}.(証明終)

このように和の公式であっさり解決するが,こんな見方もある.

(証明)
2 k -1 = (k-1) +kに注意すると,
  1+2+3+ \cdots + (n-1)+ n + (n-1)+ \cdots +3+2+1
=1 + (1+2) + (2+3) + \cdots + ((k-1) +k) + \cdots + ((n-1) + n)
=1 + 3 + 5 + \cdots +(2k-1)+ \cdots + (2n-1)
=n^{2}. (奇数和の公式) (証明終)

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