トーラスの体積

トーラスの体積を計算するのは,回転体の体積計算のいい練習になるだろう.

トーラスというのはドーナツ型のことである.
数学IIIの知識で求めてみよう.

次のようにy軸上に中心を持ち,半径が原点を超えない円の方程式を考える.
  x^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} (ただし 0 < r < bとする)
式を変形すると
  y=b \pm \sqrt{r^{2}-x^{2}}
である.そこで上側の回転体から,下側の回転体を除去するとトーラスになることを利用する.
よってトーラスの体積V
V=\int_{-r}^{r} (\pi (b+\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2} - \pi (b - \sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}) d x
  =4 \pi b \int_{-r}^{r} \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx
  =4 \pi r^{2} b \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta d \thetax=r \sin \thetaで変数変換)
  =2 \pi^{2} r^{2} b

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