トーラスの体積 - べっこう色の記録

トーラスの体積を計算するのは，回転体の体積計算のいい練習になるだろう．

トーラスというのはドーナツ型のことである．
数学IIIの知識で求めてみよう．

次のように $y$ 軸上に中心を持ち，半径が原点を超えない円の方程式を考える．
　　 $x^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 　（ただし $0 < r < b$ とする）
式を変形すると
　　 $y=b \pm \sqrt{r^{2}-x^{2}}$
である．そこで上側の回転体から，下側の回転体を除去するとトーラスになることを利用する．
よってトーラスの体積 $V$ は
$V=\int_{-r}^{r} (\pi (b+\sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2} - \pi (b - \sqrt{r^{2}-x^{2}})^{2}) d x$
　　 $=4 \pi b \int_{-r}^{r} \sqrt{r^{2}-x^{2}}dx$
　　 $=4 \pi r^{2} b \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2} \theta d \theta$ （ $x=r \sin \theta$ で変数変換）
　　 $=2 \pi^{2} r^{2} b$ ．