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三平方の定理の逆

昨日の流れのまま,有名な初等幾何の問題の逆をやりたいと思った.
そこで三平方の定理の逆をとりあげることにした.

定理.(三平方の定理の逆)
三角形ABCの三辺a,b,cについて等式a^{2}+b^{2}=c^{2}が成立するならば,
三角形ABCは∠C=90^{\circ}の直角三角形である.□

(証明)
三角形A'B'C'をa'=a,b'=bかつ∠C'=90^{\circ}である直角三角形とする.
三平方の定理より(c')^{2}=(a')^{2}+(b')^{2}=a^{2}+b^{2}=c^{2}であるから,c'=cとなる.
つまり三角形ABCと三角形A'B'C'は三辺がそれぞれ等しいので合同な三角形である.
合同な三角形の対応する角は等しいので,∠C=∠C'=90^{\circ}となる.(証明終)

新しい直角三角形を持ってきて合同を言ってしまうというアイデアに驚いた覚えがある.

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