数学的帰納法について

数学的帰納法についてのことを少しずつまとめる。

例1
自然数nに対して,次の等式を証明せよ.
  1+3+5+ \cdots +2n-1=n^{2}

(証明)
n=1の場合は,(左辺)=2 \times 1 - 1=1=1^{2}= (右辺)であるから正しい.
nの場合で成り立つと仮定する.n+1に対して,
1+3+5+ \cdots +2n-1+2(n+1)-1
=n^{2}+2(n+1)-1  (数学的帰納法の仮定による)
=n^{2}+2n+1
=(n+1)^{2}
以上よりn+1の場合も成り立つことが示されたので,
数学的帰納法よりすべての自然数nに対して等式が示された.(証明終)

例2
3以上の自然数nに対して,次の不等式を証明せよ.
  2^{n} > 2n

(証明)
n=3については,(左辺)=2^{3}=8かつ(右辺)=2 \cdot 3=6による.
3以上の自然数nの場合で成り立つと仮定すると,次が成り立つ.
  2^{n} > 2n
両辺を2倍すると
  2^{n+1} > 2 \times 2n
となる.ここで2 \times 2n -2(n+1)=2n-2>0.よって
  2^{n+1} > 2(n+1)
となり,n+1の場合も成り立つことが示される.
以上で数学的帰納法より3以上のすべての自然数nに対して不等式が示された.(証明終)

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