ふと気がついたこと - べっこう色の記録

奇数の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}$ かつ自然数の和 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$
であるから，偶数の和は次のように，まるで連立方程式のように計算できる．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2k=\sum_{k=1}^{2n}k-\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$

　　　　　 $=\frac{1}{2}(2n)(2n+1)-n^{2}$
　　　　　 $=n^{2}+n$ ．
このようにしていえる．でも次の方法の方がよっぽど自然だな…．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}2k=2\sum_{k=1}^{n}k$
　　　　　 $=2 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)$
　　　　　 $=n^{2}+n$ ．